基础数学示例

$\frac{5 q + 1}{4 q^{2} + 7 q - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $7 q$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{5 q + 1}{4 q^{2} + 7 (q) - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $7$ 重写为 $- 1$ 加 $8$

$\frac{5 q + 1}{4 q^{2} + (- 1 + 8) q - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{5 q + 1}{4 q^{2} - 1 q + 8 q - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{5 q + 1}{(4 q^{2} - 1 q) + 8 q - 2} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{5 q + 1}{q (4 q - 1) + 2 (4 q - 1)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $4 q - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 q - 2}$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ 并且它们的和为 $b = 5$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $5 q$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + 5 (q) - 2}$

解题步骤 1.2.1.2

把 $5$ 重写为 $- 1$ 加 $6$

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} + (- 1 + 6) q - 2}$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{3 q^{2} - 1 q + 6 q - 2}$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{(3 q^{2} - 1 q) + 6 q - 2}$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{q (3 q - 1) + 2 (3 q - 1)}$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 q - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} - \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 q - 1}{3 q - 1}$ 。

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} \cdot \frac{3 q - 1}{3 q - 1} - \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 q - 1}{4 q - 1}$ 。

$\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)} \cdot \frac{3 q - 1}{3 q - 1} - \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)} \cdot \frac{4 q - 1}{4 q - 1}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(4 q - 1) (q + 2) (3 q - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{5 q + 1}{(4 q - 1) (q + 2)}$ 乘以 $\frac{3 q - 1}{3 q - 1}$ 。

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1)}{(4 q - 1) (q + 2) (3 q - 1)} - \frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)} \cdot \frac{4 q - 1}{4 q - 1}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2 q + 3}{(3 q - 1) (q + 2)}$ 乘以 $\frac{4 q - 1}{4 q - 1}$ 。

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1)}{(4 q - 1) (q + 2) (3 q - 1)} - \frac{(2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (q + 2) (4 q - 1)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(4 q - 1) (q + 2) (3 q - 1)$ 的因式。

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)} - \frac{(2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (q + 2) (4 q - 1)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(3 q - 1) (q + 2) (4 q - 1)$ 的因式。

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)} - \frac{(2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(5 q + 1) (3 q - 1) - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 q + 1) (3 q - 1)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{5 q (3 q - 1) + 1 (3 q - 1) - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{5 q (3 q) + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q - 1) - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{5 q (3 q) + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 \cdot 3 q \cdot q + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.2.1.2

通过指数相加将 $q$ 乘以 $q$ 。

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解题步骤 6.2.1.2.1

移动 $q$ 。

$\frac{5 \cdot 3 (q \cdot q) + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.2.1.2.2

将 $q$ 乘以 $q$ 。

$\frac{5 \cdot 3 q^{2} + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 q^{2} + 5 q \cdot - 1 + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{15 q^{2} - 5 q + 1 (3 q) + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $3 q$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15 q^{2} - 5 q + 3 q + 1 \cdot - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15 q^{2} - 5 q + 3 q - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 5 q$ 和 $3 q$ 相加。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - (2 q + 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 + (- (2 q) - 1 \cdot 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 + (- 2 q - 1 \cdot 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 + (- 2 q - 3) (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 q - 3) (4 q - 1)$ 。

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解题步骤 6.6.1

运用分配律。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 q (4 q - 1) - 3 (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.6.2

运用分配律。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 q (4 q) - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q - 1)}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.6.3

运用分配律。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 q (4 q) - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.7.1

化简每一项。

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解题步骤 6.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 \cdot 4 q \cdot q - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.7.1.2

通过指数相加将 $q$ 乘以 $q$ 。

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解题步骤 6.7.1.2.1

移动 $q$ 。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 \cdot 4 (q \cdot q) - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.7.1.2.2

将 $q$ 乘以 $q$ 。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 2 \cdot 4 q^{2} - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.7.1.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} - 2 q \cdot - 1 - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} + 2 q - 3 (4 q) - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.7.1.5

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} + 2 q - 12 q - 3 \cdot - 1}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.7.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} + 2 q - 12 q + 3}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.7.2

从 $2 q$ 中减去 $12 q$ 。

$\frac{15 q^{2} - 2 q - 1 - 8 q^{2} - 10 q + 3}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.8

从 $15 q^{2}$ 中减去 $8 q^{2}$ 。

$\frac{7 q^{2} - 2 q - 1 - 10 q + 3}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.9

从 $- 2 q$ 中减去 $10 q$ 。

$\frac{7 q^{2} - 12 q - 1 + 3}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

解题步骤 6.10

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{7 q^{2} - 12 q + 2}{(3 q - 1) (4 q - 1) (q + 2)}$

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